Giải quyết những vấn đề thực tiễn bằng Toán học

Tham gia Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu khoa học lần thứ 42, Trần Sỹ Toàn và Nguyễn Quốc Anh – hai sinh viên K66 Khoa Toán - Tin, Đại học Bách khoa Hà Nội - đã giới thiệu một phương pháp toán học nhằm tìm lời giải gần đúng cho các bài toán khó trong một số lĩnh vực thực tiễn như: Y học, trí tuệ nhân tạo, xử lý hình ảnh,...

Nghiên cứu mang tên “Thuật toán quán tính hai bước nới lỏng giải một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân tách và ứng dụng”, giảng viên hướng dẫn là PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy.

Dùng phương pháp Toán học gần đúng giải quyết bài toán thực tế

Trần Sỹ Toàn và Nguyễn Quốc Anh bắt đầu làm nghiên cứu từ niềm đam mê cháy bỏng với Toán học. 2 chàng trai Bách khoa không muốn tình yêu đó chỉ dừng lại trên giảng đường, họ muốn mang Toán học áp dụng vào thực tiễn đời sống. Điểm chung đó đã kết nối 2 người bạn đồng niên cùng hợp tác.

Sau khi trình bày với PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy – Giảng viên Khoa Toán – Tin, Đại học Bách khoa Hà Nội về ý tưởng triển khai một phương pháp toán học nhằm tìm lời giải cho các bài toán về tối ưu hoặc phương trình phi tuyến trong thực tế, nhóm được cô Thủy ủng hộ, giúp đỡ hết mình. “Cặp bài trùng” bắt đầu triển khai nghiên cứu từ giữa năm 2024. 

Đề tài “Thuật toán quán tính hai bước nới lỏng giải một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân tách và ứng dụng” tập trung xây dựng phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách với nhiều tập đầu ra trong không gian Hilbert thực.

Sỹ Toàn và Quốc Anh xét hai bài toán thực tiễn: Bài toán xạ trị điều biến cường độ (IMRT) trong điều trị ung thư và bài toán khôi phục ảnh.

Với bài toán khôi phục ảnh, nhóm giả định ảnh ban đầu bị làm mờ thông qua một phép tích chập với một ma trận gọi là kernel (ma trận nhân). Mục tiêu là khôi phục lại ảnh rõ hơn, không cần giống y hệt ảnh gốc mà chỉ cần đạt chất lượng gần đúng, được đo bằng chỉ số SNR (Signal-to-Noise Ratio).

Bài toán này được mô hình hóa thành một bài toán Split Feasibility Problem (SFP): tìm một ảnh 𝑥 sao cho cả ảnh 𝑥 và ảnh đã qua biến đổi tuyến tính 𝐹(𝑥) đều có giá trị nằm trong khoảng [0,255]. Đây là một tập lồi đóng, phù hợp với việc áp dụng các thuật toán tối ưu hiện đại. Toán tử 𝐹 mô phỏng quá trình làm mờ, được thay thế bằng phép nhân ma trận. Nhờ đó, bài toán xử lý ảnh được chuyển thành bài toán toán học dễ giải bằng các phương pháp gần đúng.
 

Trong điều trị ung thư, xạ trị điều biến cường độ (IMRT) là một kỹ thuật tiên tiến cho phép điều khiển chính xác liều bức xạ chiếu vào cơ thể người bệnh. 

Cơ thể bệnh nhân được chia thành hai nhóm vùng chính: Các vùng cần chiếu xạ để tiêu diệt tế bào ung thư là PTVs (Planning Target Volumes) và các cơ quan lành cần được bảo vệ là OARs (Organs At Risk) - nơi liều lượng bức xạ cần được giảm thiểu tối đa.

Mô hình toán học cho quá trình lập kế hoạch xạ trị được xây dựng theo phương trình tuyến tính 𝑦 = 𝐷𝑥, trong đó 𝐷 là ma trận liều, biểu thị mức ảnh hưởng của từng chùm tia đến các voxel (thể tích nhỏ trong cơ thể), 𝑥 là vectơ cường độ các chùm tia, 𝑦 là vectơ liều bức xạ tại từng voxel.

Bài toán tối ưu đặt ra là lựa chọn vectơ x sao cho các vùng PTV nhận đủ liều để điều trị hiệu quả, trong khi các vùng OAR bị chiếu xạ ít nhất có thể. Các phương pháp gần đúng được Sỹ Toàn và Quốc Anh áp dụng, sử dụng các phép lặp đơn giản chủ yếu thao tác trên các vectơ, giúp tiết kiệm chi phí tính toán và phù hợp với khả năng xử lý của CPU trong môi trường thực tế.
 

One for all – All for one

Trong nhóm, Nguyễn Quốc Anh đảm nhận chính việc lập trình, kiểm thử và viết mô tả kỹ thuật cho các mô hình, Trần Sỹ Toàn tập trung vào chứng minh lý thuyết, trình bày và chuẩn hóa bản thảo nghiên cứu. Cả hai cùng phối hợp viết bài báo khoa và phản biện lẫn nhau để đảm bảo tính chính xác và trọn vẹn, hướng đến mục tiêu chung: Tạo ra một sản phẩm học thuật chỉn chu, chất lượng. 

“Khó khăn lớn nhất của chúng tôi là khối lượng kiến thức lớn và nhiều dữ liệu phải xử lý trong thời gian ngắn.” - Sinh viên Nguyễn Quốc Anh chia sẻ. Ngoài ra, nhóm còn phải tự học thêm nhiều công cụ lập trình, phần mềm chuyên ngành, phương pháp đánh giá hiệu quả mô hình. 

Không ít lần kết quả đầu ra không đạt kỳ vọng của nhóm, có mô hình hội không phù hợp, có lúc thuật toán “đứng hình” không ra kết quả, nhưng không vì thế mà “cặp bài trùng” nản lòng. 

“Ngã ở đâu đứng lên ở đấy! Khi có sai sót, chúng tôi sẽ phân tích lại từng giả thiết, chỉnh sửa từng tham số, đào sâu thuật toán gốc. Làm đến bao giờ ra kết quả mới thôi!” - Quốc Anh cười, nói như thể việc "đập đi xây lại" một nghiên cứu là chuyện... cơm bữa.

Với tinh thần “One for all – All for one: Mọi người vì một người, một người vì mọi người”, Sỹ Toàn và Quốc Anh đã cùng nhau tìm giải pháp để triển khai công việc hiệu quả nhất. 2 chàng trai chia nhỏ đầu việc, tận dụng thế mạnh cá nhân và luôn giữ tinh thần hỗ trợ lẫn nhau. Nhóm cũng chủ động nhờ sự tư vấn của các giảng viên Bách khoa và tham khảo các nghiên cứu trước để đi đúng hướng.
 

Nhắc đến giảng viên hướng dẫn - PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy - Trần Sỹ Toàn bày tỏ: “Cô rất tận tâm, truyền cảm hứng mạnh mẽ để chúng tôi có thêm động lực nghiên cứu. Với cô Thủy, mỗi câu hỏi, mỗi chứng minh đều phải có lý do rõ ràng, phải đúng, phải "sạch". Nhìn cách cô làm việc, chúng tôi cảm thấy mình cũng phải nghiêm túc hơn rất nhiều!". 

Nỗ lực của hai chàng trai Toán – Tin đã có “trái ngọt” đầu tiên. Kết quả nghiên cứu cho thấy thuật toán quán tính hai bước nới lỏng giải một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân tách có thể áp dụng giải những bài toán thực tế có ràng buộc phức tạp. Đề tài đã đạt giải Nhất hạng mục Toán ứng dụng và Tin học tại Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu khoa học lần thứ 42 của Đại học Bách khoa Hà Nội.

Bất cứ nơi đâu có dữ liệu, có mô hình toán học, thuật toán của nhóm đều có khả năng ứng dụng. Với yếu tố này, Nguyễn Quốc Anh và Trần Sỹ Toàn đang lên kế hoạch mở rộng nghiên cứu liên ngành, kết hợp với các lĩnh vực khác như Khoa học dữ liệu, Kinh tế - Xã hội, Giao thông,...